Matematyka i komputery

Czy naprawdę to Ty?      A może inaczej?
  






Uwagi wstępne.


'Omega' jest programem przeznaczonym w głównej mierze dla tych nauczycieli, którzy chcieliby wykorzystywać komputer na lekcjach matematyki. Celem programu jest ułatwienie i uatrakcyjnienie pracy dydaktycznej nauczyciela. Programu można używać zarówno do demonstracji, jak i ćwiczeń uczniowskich pod kierunkiem nauczyciela. Program może też być przydatny uczniom pracującym samodzielne w domu i chcących sprawdzić lub poszerzyć swe umiejętności z zakresu matematyki. Ze względu na fakt, że jest to program narzędziowy, może być używany zarówno w szkole podstawowej, gimnazjum jak i liceum. Jak posługiwać się programem wskazują przykłady umieszczone w menu: 'demo1','demo2','ćwiczenia' i w pliku pomocy. Tematyka jaką można realizować przy pomocy tego programu to wszystkie zagadnienia dotyczące pojęcia funkcji, granicy funkcji, pochodnej, przekształceń geometrycznych, rachunku zbiorów, relacji, rachunku wektorowego czy rachunku zdań. Ćwiczenia obejmują również działania na liczbach wymiernych, własności działań i ich zastosowania oraz wiele innych. Program działa pod kontrolą systemu operacyjnego "Windows".
Umieszczenie w jednym programie ćwiczeń dotyczących wszystkich typów szkół jest zamierzone.
Z praktyki szkolnej wynika, że często w klasach starszych trzeba uzupełniać pewne braki z klas młodszych i nie zawsze mamy pod ręką odpowiednie narzędzie.
Podobnie jeśli chodzi o uczniów uzdolnionych, wygodnie jest mieć pod ręką narzędzie umożliwiające poszerzanie ich wiedzy.



Jak posługiwać się programem.

Na ogół każdemu twórcy oprogramowania wydaje się, że jego program jest intuicyjny i wzwiązku z powyższym nie potrzebuje rozbudowanego systemu pomocy.
Prawda często jest inna. Kłopoty z posługiwaniem się programem zniechęcają często jego potencjalnych użytkowników.
W związku z powyższym, proponuję użytkownikom "Omegi", aby przy pomocy poczty elektronicznej zadawali pytania dotyczące posługiwania się programem.
Zobowiązuję się udzielać wyczerpujących odpowiedzi na łamach tej strony lub pocztą.



Kilka przykładowych zrzutów ekranowych demonstrujących możliwości programu.
Granice funkcji.

Wykresy funkcji

Działania na zbiorach
Równania parametryczne.



Tu kopiowanie programu:
Omega (1.49 MB) (Pobrań - 305)



Przykłady badania przebiegu zmienności funkcji (pdf)
                           
Obliczanie granicy funkcji (pdf 178 kb) (722)


Po co programy komuterowe i dla kogo (moim zdaniem).

Na początku była euforia.
Z literatury wynika, że gdzieś w połowie lat 80-tych, gdy komputery zbłądziły pod strzechy rozpisywano się jakim to doskonałym nauczycielem będzie komputer (nie denerwuje się, nie krzyczy itd...itd).
Rzeczywistość nie potwierdziła tych przesadnych nadzieji związanych z komputeryzacją nauczania. (W szczególności jeśli chodzi o matematykę.)
O ile wiem, to 6-latek woli pochwałę taty za postępy w nauce, niż najwymyślniejsze nagrody z komputera, chyba...że, tata też siądzie przy komputerze.
Nauczyciele i korepetytorzy mogą spać spokojnie.
Nie jest koniecznie potrzebny dydaktyczny program komputerowy uczniom najzdolniejszym i zainteresowanym matematyką (Newtonowi, to nawet nie byli potrzebni nauczyciele, ale nie każdy jest Newtonem-na szczęście).
Program komputerowy nie może zastępować podręcznika, a jedynie być jego uzupełnieniem. Są takie programy, które powielają podręczniki. Można jedynie mieć nadzieję, że uczeń chętniej sięgnie do takiego programu, bo to nowocześniejsze medium, ale osobiście w to wątpię.
Natomiast, program komuterowy może uatrakcyjnić tok lekcji, zademonstrować to co jest nie do pokazania na statycznym rysunku w podręczniku czy tablicy, zastąpić żmudne rachunki obliczeniami maszynowymi itd,itd.
Nauczyciele, czasmi korzystają z wyrafinowanych programów matematycznych, ale pokażcie mi program, który prawidłowo wykona wykres funkcji y=x/x (bez wcześniejszego określenia dziedziny funkcji); ja takiego nie spotkałem. Mój program w wielu tego typu sytuacjach daje sobie radę. W popularnych programach graficznych, też nie można zademonstrować wszystkiego (w którym programie graficznym można narysować prostą i zademonstrować jej własności?
odp. w żadnym (nie do tego są przygotowywane).


Czy w matematyce można wszystko upoglądowić odwołując się do realnej rzeczywistości.

Odpowiedź brzmi krótko: Nie.
Czasami zbytnie upoglądowianie może wręcz przeszkadzać, jeżeli tylko poprzestaje się na nim.
Pamiętam jak pewnego razu prowadziłem "głębokie" razważania na temat dzielenia przez zero. Na zakończenie zadowolony z siebie pytam Bartka: Ile to jest 5 podzielić przez zero?
Bartek: zero
Ja: ??
Bartek, podenerwowany: No przecież sam mówiłeś, że nie dzieli się przez zero.
Ja:???????????????????????????????????????????????????????
Dopiero po pewnym czasie zrozumiałem rozumowanie Bartka.
Bartek z początkowego nauczania wiedział, że jak nie ma kasztanów to mówimy,że jest zero, a zatem analogicznie, jeżeli nie ma wyniku przy dzieleniu przez zero to znaczy,że jest zero i kropka (jakaś logika w tym jest).
(Uwaga: W związku z powyższym należało by chyba dokładnie rozróżniać: Liczbę wyników od wartości samych wyników działania. Przy działaniu 8:2 liczba wyników jest 1, a sam wynik wynosi 4.
Przy działaniu 8:0 liczba wyników równa się 0, a zatem sam wynik nie istnieje.
A co z działaniem 0:0? Tu po prostu każdy wynik jest dobry, bo mnożąc iloraz przez dzielnik zawsze otrzymamy dzielną. 0:0=3 bo 0*3=0, 0:0=5 bo 0*5=0 itd.
Tylko co to za działanie gdzie każdy wynik jest dobry-bezużyteczne.
(Dla uczniów to by była frajda, co by nie napisali jako wynik to ocena celująca:)
Dlatego przyjęto nazwać takie działanie jako nieoznaczone i uznać za niewykonywalne.
0 w potęgowaniu? Proszę bardzo:
Czemu równa się. Przedstawmy liczbę zero jako różnicę tych samych liczb np. 0=2-2
Wówczas:

(Na podstawie twierdzenia o ilorazie potęg o tych samych podstawach)

A ? Podobnie jak poprzednio przedstawmy:

Czyli działanie nieokreślone, a zatem niewykonywalne.
No i jeszcze jeden problem, często stawiany w związku z liczbą 0.
Czy 0 jest liczbą naturalną. Na poziomie matemtyki szkolnej uznajemy 0 za liczbę naturalną(aby nie gmatwać sprawy).
Gdy dzisiejszy uczeń zostanie studentem matematyki to inny problem, ale nie takie rzeczy będzie musiał sobie wówczas przyswoić.
(Wszystko wszak zależy od przyjętej definicji i od problemu w którym będziemy ją stosować.)


Czego szukają nauczyciele.

O ile wiem, nauczyciele szukają najczęściej gotowych rozwiązań metodycznych czy scenariuszy lekcji i nie ma się czemu dziwić.
Niestety, mój program nie daje w 100% odpowiedzi na to zapotrzebowanie. W internecie można spotkać wiele takich scenariuszy do konkretnych lekcji. Zbierając je można by złożyć niezłą kolekcję lecz również wymagają one dodstosowania do własnych potrzeb, warunków klasowych, poziomu klasy itd.
W prawdzie jest możliwe opracowanie konkretnych lekcji z wykorzystaniem programu komputerowego, ale jest to poza moimi możliwościami (doba ma tylko 24 godz).
Program, taki jak mój pisze się dość wolno, według moich szacunków w tym samym czasie można by napisać kilka podręczników.
W związku z powyższym w najbliższym czasie będę starał się poszerzać już istniejący program o kolejne działy.
Poszukiwane są też sprawdziany do prac klasowych jak i programy komputerowe.


Czego szukają uczniowie, studenci.

Z analizy zapytań w przeglądarkach jak i różnych forum związanych z matematyką wynika, że:
Uczący się poszukują najczęściej pomocy w rozwiązaniu konkretnego problemu, np. Jak rozwiązać dane równanie, jak obliczyć granicę funkcji itd, itd.
Czasami dochodzi wręcz do tragikomicznych sytuacji.
Gimnazjalista pyta:Jak wykonać wykres funkcji y=(x-1)^2 +2
Próbujący pomóc odpowiada: Wprawdzie skończyłem studia dość dawno, ale o ile pamiętam należy określić dziedzinę funkcji,znaleźć granice funkcji, obliczyć pochodną itd, itd.
(Współczuję gimnazjaliście, jako że pytający i pomagający są w tym przypadku na zupełnie różnych poziomach wiedzy matematycznej z czego prawdopodobnie nie zdają sobie sprawy.)
Z bardziej ogólnych zapytań najczęściej występuje zapytanie o logarytmy i do czego one są potrzebne?
No właśnie, jeszcze kilkanaście lat temu każdy uczeń szkoły średniej miał tablice logarytmiczne, a student szkoły technicznej suwak logarytmiczny.
Po co?
Ano do bardzo prozaicznej rzeczy jaką są obliczenia na liczbach wielocyfrowych.
(Do wiadomości najmłodszego pokolenia wspomnę, że nie tak dawne były czasy gdy nie było kalkulatorów i komputerów (naprawdę!)
Wszystkie obliczenia trzeba było wykonywać ręcznie, a jest to dosyć pracochłonne zajęcie (szczególnie mnożenie).
Kto nie wierzy niech sprawdzi, obliczając sposobem pisemnym objętość walca o promieniu r=234,756 i wysokości h=17,29.
Umiejętność posługiwania się logarytmami znacznie przyspieszała te rachunki.
A oto, jak postępował uczeń czy student, posługując się logarytmami o podstawie 10:
V=pi*r^2*h
log(V)=log(pi*r^2*h)=log(pi)+log(r^2)+log(h)=log(pi)+2log(r)+log(h)
(Wykorzystując twierdzenia o działaniach na logarytmach)
A zatem:
log(V)=log(3,14)+2log(234,756)+log(17,29)
Następnie korzystając z tablic logarytmicznych lub suwaka logarytmicznego znajdował szukane logarytmy i metodą pisemną wykonywał działania dodawania i mnożenia przez 2.
log(V)=0,4972+2*2,3706+1,2378=6,4762
Ostatnią czynnością bylo znalezienie w tablicach lub na suwaku liczby V której logarytm równa sie 6,4762
V=2993493,14 (Uff, nareszcie koniec, ale przy odrobinie wprawy szło to dosyć szybko.)
Dziś w czasach kalkulatorów, komputerów są to umiejętności całkowicie zbyteczne.
Pierwsze kalkulatory pokazały się w Polsce w latach 70-tych. (Dysponowały aż 4 działaniami!).
Kalkulator wielodziałaniowy firmy Casio kosztował w roku 1978 około 10 tys zł.(przeciętna pensja - 3 tys zł.)
Co zatem z logarytmami? Czy powinno się je całkowicie wyrzucić z programów nauczania?
Odpowiedź brzmi: Nie, ale uczyć inaczej niż dawniej.
Jak wiadomo funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej i jako taka powinna być znana.
W analizie matematycznej na poziomie wyższym, przy obliczaniu granic, pochodnych, całek itd, często się z nią spotykamy, a zatem poznajmy logarytmy w szczególności jeżeli wybieramy się na studia techniczne.
W matematyce szczególną rolę odgrywają logarytmy o podstawie e, gdzie e jest granicą funkcji (1+1/x)^x, logarytmy takie nazywamy naturalnymi.
(Ostatnio dużą popularnością cieszy się temat: "granice funkcji" i to zarówno wśród nauczycieli jak i uczniów czy studentów.)


Zachęcam.

Przy okazji zachęcam nauczycieli do oswajania uczniów od najmłodszych lat z używaniem literek i traktowania ich jako zmiennych (długofalowe przygotowanie do pojęcia funkcji). Demonstrowaniem wygody ich stosowania w praktycznych obliczeniach. Mój program umożliwia to, chociażby w specjalnie do tego przygotowanych okienkach obliczeniowych. Jeszcze raz podkreślam; oswajaniem, a nie uczeniem rachunku literowego, bo to dwie różne rzeczy i czasami można przedobrzyć. Na pytanie co oznacza litera w matematyce uczniowie najczęściej odpowiadają: "litera oznacza niewiadomą"(kto nie wierzy niech sprawdzi) - wynika z tego, że bardziej kojarzą litery z pojęciem równania, a nie z funkcją.
Co się nam wydaje.

Oczywistym jest, że dla chińczyka najłatwiejszym językiem jest chiński, a dla anglika-angielski. Każdy z nas przyswoił sobie pewną część wiedzy i wydaje mu się, że najłatwiejszy sposób dochodzenia do tej wiedzy jest taki w jaki on sam do niej doszedł i nie widzi potrzeby ich zmiany (często zapominamy jakie trudności sami mieliśmy). Stąd olbrzymie bariery psychologiczne w stosowaniu nowych metod i środków dydaktycznych. Wszystkie badania wyników nauczania matematyki świadczą o tym, że przed dydaktyką matematyki jeszcze długa droga a zmiany dokonują się powoli, choćby ze względu na owe bariery.
Co by nie myśleć o matematyce, to każdy musi przyznać, że wyrastała ona z potrzeb życia codziennego i zawsze początki każdego jej działu związane były z praktyką (uogólnienie pewnych pojęć to dopiero następny etap), że przypomnę choćby początki rachunku prawdopodobieństwa czy całkowego. Pamiętam, że, zastanawiałem się kiedyś, skąd się wzieła ta cho.....a liczba "e" i jak matematycy "wymyślali" te okropne wzory w rodzaju: (1+1/x)^x. Prawda okazała się banalna. Matematycy nie "wymyślają" wzorów dla samych wzorów, a początki liczby "e" tkwią po prostu w bankach i poszukiwaniu najbardziej optymanych sposobów gromadzenia "kochanych pieniążków".


Co mnie rozbawiło.

Czytając życiorys pewnego matematyka:
Czasy wojen napoleońskich - pożoga, glód, choroby i inne nieszczęścia, a taki siedzi sobie gdzieś w kąciku i zastanawia się czy zbiór liczb pierwszych jest wszędzie jednakowo gęsty. Co najmniej dziwni są ci matematycy i na dodatek przechodzą do historii.


Co mnie zdziwiło.

Ostatnio zauważyłem, że wielu internautów (w szczególności studentów) poszukuje w internecie informacji, które można znaleźć w podręcznikach matematyki( twierdzeń, definicji). Po chwilowym zdziwieniu zrozumiałem jednak racjonalność takiego postępowania. Podręczniki kosztują, a informacje w internecie można często uzyskać za darmo.
Problem w tym, że jak narazie nie ma w polskim internecie szczegółowych opracowań dotyczących całych działów matematyki.
Istnieje wiele stron na których można znaleźć jedynie wyrywkowe informacje. Strony takie tworzą nauczyciele, studenci czy inni hobbyści.
Od strony technicznej utworzenie takiej witryny jest stosunkowo proste, ale wątpię czy komuś się będzie chciało za darmo skopiować np. cały podręcznik matematyki.
Można przewidywać, że w przyszłości takie opracowania też się ukażą, ale wejścia na takie strony będą niestety obłożone tzw. mikro-opłatami przy pomocy SMS-ów, np. 3 zł za wejście na stronę.
Czy nam się to podoba czy nie, to taki jest kierunek w necie i coraz więcej wartościowych witryn jest obłożona takimi opłatami. Czasy darmowego internetu powoli ale systematycznie kończą się.
Na pociechę można jedynie powiedzieć, że istniała, istnieje i będzie istnieć zawsze grupa hobbystów, którzy będą też tworzyli strony darmowe, ale o ograniczonych możliwościach.
Innym rozwiązaniem godnym polecenia jest forum dyskusyjne, gdzie ramach samopomocy koleżeńskiej można wiele się dowiedzieć. Polecam wszystkim (naprawdę warto).

Uczniowskie forum dyskusyjne




Odpowiedzi na pytania.

Pytanie: Czy w programie omega możliwe jest narysowanie funkcji logarytmicznej w następującej postaci y=1-log|1-x| lub jej podobnych gdy podstawa logarytmu wynosi 2?
Odpowiedź: Jak wiadomo określone zapisy matematyczne tworzone były w czasach gdy nie znane były komputery. W czasach dzisiejszych stwarza to pewne problemy z zapisem niektórych funkcji. Zawsze jest jednak jakieś wyjscie. Jak można zauważyć po naciśnięciu klawisza z literą "F" można wpisywać w okienku edycyjnym dowolne funkcje w tym logarytmiczne, ale tylko o podstawie "e", czyli tzw. logarytmy naturalne. Zapis ln2 oznacza logarytm o podstawie "e" z liczby 2. Jak wiadomo można jednak zamienić logarytm o dowolnej podstawie na logarytm naturalny, wykorzystując odpowiednie wzory. Przykład. Logarytm o podstawie 5 z liczby x można zapisac: ln x/ln5 i analogicznie funkcję o której mowa jest w pytaniu można zapisać: 1-ln|x-1|/ln2. Możliwe by też było inne rozwiązanie, np. wprowadzenie dodatkowego okienka w którym zmienną byłaby podstawa logarytmu, ale też to prowadzi do pewnych problemów, a zapis jest calkowicie nieczytelny w szczególności gdyby we wzorze występowały logarytmy o różnych podstawach.

Panda ActiveScan - On-line Virus Check
Strudzonym wędrowcom po bezdrożach internetu, poszukującym źródeł wiedzy matematycznej.
Oferuję interesującą przystań czyli:Matematyka dla każdego (prawie :)
http://matematyka.pisz.pl